Le problème de Monty Hall

Il s'agit historiquement d'un jeu télévisé baptisé Let's make a deal et animé par Monty Hall. Ce jeu fût diffusé aux USA à partir des années 60 (Il servit de référence au Bigdill animé par Vincent Lagaffe en France à la fin des années 90).

Le principe est simple:

• Le candidat se retrouve face à trois portes fermées.
• Une voiture est cachée derrière une des portes.
• Une chèvre est cachée derrière chaque autre porte.

Le but du jeu ? Deviner derrière quelle porte se trouve la voiture pardi !
Cependant pour rendre le jeu un peu plus excitant, une fois que le candidat a choisi une porte, le présentateur va ouvrir une des portes cachant une chèvre. A ce moment-là, le candidat aura la possibilité de changer de choix.
Enfin les trois portes s'ouvrent pour découvrir si le candidat a gagné (ou pas).

Ci-dessous vous trouverez une simulation de ce jeu qui (je l'espère) levera toute ambiguîté sur le problème.
Vous pouvez cliquer sur une porte jaune pour la sélectionner, le bouton "Intervention" vous ouvrira une porte cachant une des chèvres tandis que le bouton "Verdict" mettra fin à la partie en dévoilant ce qui se cache derrière chaques portes.

Changer ou ne pas changer de choix ?

Cela peut paraître étrange mais visiblement les personnes qui changent de choix gagnent plus souvent que celles qui restent sur leur choix initial. Pourtant c'est promis, derrière les portes la voiture n'a pas changé de place.

Ce qu'on peut faire pour vérifier cette tendance, c'est de jouer plusieurs parties. En changeant de choix à chaque fois ou en restant systématiquement sur son choix initial.
On va profiter de la puissance de votre appareil pour jouer a votre place des centaines de parties en un instant.

Et si on mettait plus de portes ?

Le resultat de l'expérience précédente est flagrant, nos chances de gagner augmentent fortement lorsque l'on change de choix.
Une façon peut-être plus ludique de mettre en évidence ce phénomène est d'essayer d'augmenter le nombre de portes et voir ce qui se passe.

Donc on a n portes avec :

• 1 voiture
• n - 1 chèvres.

Dans ce cas le présentateur va nous ouvrir non pas 1 porte mais n - 2 portes.
Sur trois portes l'expérience sera la même mais sur plusieurs dizaines de portes, il va sembler évident que notre choix initial sera certainement une chèvre et que la voiture se trouvera derrière la dernière porte restante.

Bref

Maintenant vous ne pouvez plus nier qu'en choissant la dernière porte en jeu, vous augmentez vos chances de victoire. Au début de la partie, vous n'avez aucun indice, vous avez donc 1/3 (ou 33%) de chance de trouver la voiture.Vous pouvez changer votre choix autant de fois que vous voulez, vous aurez toujours 1/3 de chance de gagner. Cependant quand le Maître du jeu (ou le présentateur) vous montre la porte où se trouve une des deux chèvres, Il ne vous ment pas et... il n'a peut-être pas le choix !

Je m'explique, si vous vous êtes positionné devant la porte dissimulant la première chèvre, le Maître est obligé de vous ouvrir la porte avec la seconde chèvre.

Comme il y a deux chèvres sur trois portes, il y a une probabilité de 2/3 (ou 67%) que vous choisissiez une chèvre et que le Maître ne puisse pas choisir quelle porte il vous ouvre.

Donc il y a deux chances sur trois qu'en changeant de choix pour prendre la dernière porte que le Maître laisse close, vous découvriez la voiture.

Nous sommes souvent induit en erreur car nous imaginons que le Maître du jeu a systématiquement le choix de nous dévoiler une des deux chèvres au hasard... Mais non, sur ce coup-là ce n'est plus du hasard. N'oubliez pas qu'il ne peut pas ouvrir la porte que vous avez choisi !
Tout Maître qu'il est, vous imposez le premier choix et vous avez une probabilité de 2/3 de le contraindre à vous donner LA réponse, ce n'est pas négligeable :)